Conjuntos e Intervalos - Resumos com Exercícios.

Atividades de Matemática
Conjuntos e Intervalos

Teoria de Conjuntos
A teoria de Conjuntos associa-se a ideia de uma coleção de objetos que possuem ao menos uma característica ou propriedade em comum. É possível caracterizar um conjunto de três maneiras:

- Enumeração: V= {a,e,i,o,u}
- Propriedade: V= {x/x é uma vogal}
- Diagrama de Venn:

Símbolos Matemáticos
 : pertence

 : não pertence

⊂ : está contido

 : não está contido

⊃ : contém
Teoria de Conjuntos
 : não contém

/ : tal que

⇒ : implica que

⇔ : se, e somente se

∃ : existe

 : não existe

 : para todo

 : conjunto vazio

N : conjunto dos números naturais

Z : conjunto dos números inteiros

Q : conjunto dos números racionais

Q'= I : conjunto dos números irracionais

R : conjunto dos números reais

Obs.: Os símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅ são usados apenas em comparações de conjuntos para conjuntos.

Subconjuntos 
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é um subconjunto de B se, e somente se, todo x pertencente ao conjunto A também pertencer ao conjunto B.

Indicamos por A c B e lê-se A é subconjunto de B, ou A está contido em B. Também podemos dizer que A é uma parte de B.
 A ⊂ B ⇔ {x/x ∈ A x ∈ B} ou B ⊃ A (B contém A)
Partes de um Conjunto
Partes de um Conjunto 
São todos os subconjuntos que se pode formar a partir de um conjunto.
P(A) -> Partes de A

A= {1,2,5}
P(A)= {∅, {1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}}

- O conjunto vazio e o próprio conjunto são subconjuntos do conjunto A.
- A relação dos subconjuntos com a parte é de pertinência, por exemplo, {1} ∈ P(A).
- Determina-se o número de subconjuntos da parte com a Fórmula: 2n
Na qual n é o número de elementos do conjunto.

Operações 
União: Sejam dois conjuntos A e B. União é a soma dos elementos de A com os elementos de B.
A ∪ B -> A união B
A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
A= {1,2,3} B= {2,3,5}
A ∪ B = {1,2,3,5}

Interseção: Sejam dois conjuntos A e B. Interseção é composta pelos elementos que pertence a esses dois conjuntos.
A ∩ B -> A interseção B
A ∩ B = {x/x ∈ A e B}
A= {1,2,3} B= {2,3,5}
A ∩ B = {2,3}

Diferença: Sejam dois conjuntos A e B, diferença é quando os elementos pertencem apenas a um dos conjuntos.
A – B -> diferença entre A e B.
A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
A = {1,2,3} B = {1,2,5}
A – B = {1}

Complemento: Sejam dois conjuntos A e B. A diferença entre esses conjuntos (A – B), quando B é um subconjunto de A (B ⊂ A), é o conjunto complementar de B em relação a A.
B’ -> complemento de B
B’ = {x/x ∉ B}
A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,}
B = {1,3,5,7}
B’ ou CAB= {0,2,4,6,8}
Intervalos conjunto
Intervalos 
O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominados intervalos, os quais são classificados em:

- Intervalos abertos: quando os números indicados não pertencem ao intervalo. Representamos na reta real com bolinhas abertas (sem cor).
{x ∈ R/ -2 < x < 3}, ]-2;3[ ou (-2;3)

- Intervalos fechados: quando os números indicados pertencem ao intervalo. Representamos na reta real com bolinhas fechadas (com cor).
{x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 2}, [-3;2]

- Intervalos tendendo ao infinito: quando os intervalos são infinitos em uma direção da reta numérica. Os intervalos tendendo ao infinito possuem a mesma representação dos intervalos abertos.
{x ∈ R/ x > -3}, ]-3;+∞[ ou (-3;+∞)
{x ∈ R/ x ≤ 2}, ]-∞;2] ou (-∞;2]

Exemplo:
Calcule a interseção de [2;4] com ]1;3[

Portanto, [2;4] ∩ ]1;3[ = [2;3[ 3
Exercícios de Conjuntos Numéricos
Exercícios
01. Sendo x e y números naturais quaisquer, assinale V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número natural.
b) ( ) x . y é um número natural.
c) ( ) √x é um número natural.
d) ( ) x – y é um número natural.
e) ( ) x : y é um número natural.
f) ( ) 2 . x é um número natural.
g) ( ) x/2 é um número natural.

02. O que é um número natural primo? Escreva os 20 menores números naturais que são primos.

03. Escreva os 10 menores múltiplos naturais dos números: 12 e 30. E em seguida encontre todos os divisores naturais desses mesmos números.

04. Sendo x um número natural, qual a condição para que:
a) √x seja um número natural?
b) x/2 seja um número natural?
c) x/5 seja um número natural?

05. Sendo x e y números inteiros quaisquer, assinale V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número inteiro.
b) ( ) x . y é um número inteiro.
c) ( ) √x é um número inteiro.
d) ( ) x – y é um número inteiro.
e) ( ) x : y é um número inteiro.
f) ( ) 2 . x é um número inteiro.
g) ( ) x/2 é um número inteiro.

06. Responda as seguintes questões:
a) Todo número natural possui sucessor?
b) Todo número inteiro possui sucessor?
c) Todo número natural possui antecessor natural?
d) Todo número inteiro possui antecessor inteiro?
Exercícios de Conjuntos Numéricos
07. Sendo x e y números racionais quaisquer, assinale V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) x + y é um número racional.
b) ( ) x . y é um número racional.
c) ( ) √x é um número racional.
d) ( ) x – y é um número racional.
e) ( ) x : y é um número racional.
f) ( ) 2 . x é um número racional.
g) ( ) x/2 é um número racional.

08. Determine as frações que geram as dízimas abaixo:
a) 6,22222...
b) 0,33333...
c) 6,010101...
d) 7,2414141...
e) 1,712712712...

09. Assinale V ou F, conforme as afirmações a seguir sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:
a) ( ) A soma de dois números irracionais é um número racional.
b) ( ) O produto de dois números irracionais pode dar um número racional.
c) ( ) O produto de dois números reais é um número real.
d) ( ) A soma de dois números reais é um número real.

10. (FATEC-SP) Se A= 0,666..., B= 1,333... e C= 0,141414..., então AB-¹ + C é igual a:
a) -74/99
b) 127/198
c) 80/99
d) 187/30
d) 67/30

11. (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.

Das afirmações:
I) ab é um número irracional;
II) a + b é um número irracional;
III) a – b pode ser um número racional;

Pode-se concluir que:
a) as três são falsas.
b) as três são verdadeiras.
c) somente I e II são verdadeiras.
d) somente I é verdadeira.
e) somente I e II são falsas.
Exercícios de Conjuntos Numéricos
12. (FUVEST-SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:
a) 1/125
b) 1/8
c) 8
d) 12,5
e) 80

13. Represente, discriminando entre chaves, os elementos dos conjuntos:
a) A= {x ∈ N/ 5 ≤ x ≤ 11}
b) B= {x ∈ Q/ x² - 16= 0}
c) C= {x ∈ I/ x² - 25= 0}
d) D= {x/x é um número natural primo menor que vinte}
e) E= {x/x é um número natural quadrado perfeito menor que 100}
f) F= {x/x = 2n, sendo n ∈ N}
g) G= {x/x = 2n + 1, sendo x ∈ N}

14. Classifique como V ou F as afirmações:
a) ( ) {0} ⊂ { }
b) ( ) {3} ⊂ {1;2;3}
c) ( ) Z ⊂ R
d) ( ) Q ⊂ R
e) ( ) I ⊂ R
 f) ( ) { } ⊂ { }

15. Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos:
a) A= {1}
b) B= {0;3}
c) C= {1;2;4}

16. Complete, sendo A um conjunto e n(A) a quantidade de elementos de A:
a) Se n(A)= 0, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
b) Se n(A)= 1, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
c) Se n(A)= 2, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
d) Se n(A)= 3, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.
e) Se n(A)= 4, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

17. Sendo A e B dois conjuntos não vazios quaisquer, assinale V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas:
a) ( ) A ∪ A= A
b) ( ) A ∩ A= A
c) ( ) A ∩ { }= A
d) ( ) A ∪ { }= { }
e) ( ) A – B= B – A
f) ( ) n(A ∪ B)= n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

18. Considere os conjuntos:
A= {-2;-1;0;1;2;3;4;5}
B= {0;1;3}
C= {3;4;5;6;7}

Obtenha o que se pede:
a) A  ∪  B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
e) (A  ∪  B) ∩ C
f) A ∩ B ∩ C
g) C – A
h) A ∩ C
Exercícios de Conjuntos Numéricos

19. Em relação aos conjuntos A, B e C, do exercício anterior, faça um diagrama relacionando os elementos.

20. Assinale com V ou F, para as seguintes afirmações:
a) ( ) N ∪ Z= Z e) ( ) (R – I) c Qb) ( ) N ∩ Z= { } f) ( ) Q – I= Nc) ( ) (Z – N) c Z g) ( ) R= Q ∪ Id) ( ) (R – Q)= I h) ( ) Q ∩ I c R

21. Sendo A= {1;2;3;4} e B= {1;2;3;4;5;6;7}, obtenha:
a) B – A
b) A – B
c) CBA
d) CAB

22. No diagrama ao lado, estão representados três conjuntos A, B e C. Em cada região do diagrama estão indicados números de I a VII, que relacionam os conjuntos.
Escreva, para cada região, a relação entre os conjuntos que a corresponde:

23. Sendo A= {x ∈ Z/ (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0} e B= {x ∈ N/ x² - 7x =- 12}, substitua os espaços corretamente pelos símbolos ∈, ∉ , c ou .
a) 0 ___ A
b) 0 ___ B
c) 3 ___ A
d) 3 ___ B
e) B ___ Z
f) A ___ N

24. Dado o diagrama abaixo, assinale a região que representa:
a) (A ∩ B) – C
b) A ∪ (B ∩ C)
c) A – (B ∪ C)
d) A ∩ B ∩ C

25. Dados A= {0,1,2,3}, B= {1,2,3} e C= {2,3,4,5}. Determine:
a) A – B
b) (A – C) ∩ (B – C)
c) CA(B ∩ C)
d) (∅ - B) ∪ (B – C)
Exercícios de Conjuntos Numéricos
26. Considerando o diagrama abaixo, determine:
a) n(A)
b) n(B)
c) n(C)
d) n(A ∩ B)
e) n(A ∩ C)
f) n(A – B)
g) n[(A ∪ B) – C]

27. (FATEC-SP) Seja n um número natural. Se A= {x ∈ N/ x= 2n} e B= {x ∈N/ x= 2n + 1}, então:
a) B – A= {1}
b) A ∪ B= N
c) A ∪ B= {0;10}
d) A ∩ B= A
e) A ∪ B= {x ∈ N/ x é par}

28. (FCMSC-SP) Um conjunto A possui n elementos e um conjunto B possui um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A e B, respectivamente, tem-se que:
a) y é o dobro de x.
b) y é o triplo de x.
c) y= x/2 + 1.
d) y= x + 1.
e) y pode ser igual a x.

29. (PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba e nem de rock?
a) 800
b) 730
c) 670
d) 560
e) 430

30. (UFV-MG) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos. Se A ∪ B tem 7 elementos, então A ∩ B tem:
a) nenhum elemento.
b) três elementos.
c) dois elementos.
d) um elemento.
e) quatro elementos.
Exercícios de Conjuntos Numéricos
31. (FATEC-SP) Se A= {x ∈ R/ 0 < x < 2} e B= {x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 1}, então oconjunto (A ∪ B) – (A ∩ B) é:
a) [-3;0] ∪ ]1;2[
b) [-3;0[ ∪ 1;2[
c) ]-∞;-3[ ∪ [2;+∞[
d) ]0;1]
e) [-3;2[

32. (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de assistência médica, A e B, conforme o quadro:

O número de filiados simultaneamente às empresas A e B é:
a) 30
b) 40
c) 25
d) 50

33. (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, A ∩ B tem 12 elementos e A ∪ B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:
a) 28
b) 36
c) 40
d) 48
e) 52

34. (FAAP-SP) Foi feita uma pesquisa com todos os alunos de uma escola e constatou-se que 56 lêem a revista A, 21 as revistas A e B, 106 apenas uma das revistas e 66 não lêem a revista B. Qual o número de alunos dessa escola?

35. (FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

36. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir 3 diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6, C2 e C3 terão 5, das quais 4 também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagem dos 3 catálogos, necessitará de quantos originais de impressão?
Exercícios de Conjuntos Numéricos
37. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
a) 48%
b) 140%
c) 60%
d) 80%
e) 40%

38. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de 3 marcas: A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A=48%
 B=45%
C=50%
A e B=18%
B e C=25%
A e C=15%
Nenh.= 5%

a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as 3 marcas?
b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3 marcas?

39. (UNESP-SP) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações: Helena, Senhora, A Moreninha. Para isso pesquisou o mercado e concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas.

- 600 haviam lida A Moreninha
- 400 haviam lido Helena
- 300 haviam lido Senhora
- 100 haviam lido Senhora e Helena
- 150 haviam lido A Moreninha e Senhora
- 200 haviam lida A Moreninha e Helena
- 20 haviam lido as três obras

Com estas informações calcule:
a) O número de pessoas que leram somente uma das três obras.
b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

40. (Mackenzie-SP) Sabe-se que:
A ∪ B ∪ C= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 10}
A ∩ C= {2,7}
A ∪ B= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 8}
A ∩ B= {2,3,8}
B ∩ C= {2,5,6}

Determine o conjunto C.
Exercícios de Conjuntos Numéricos
41. (PUC-PR) Era um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, física e português foi o seguinte:

-Matemática, 47;
-Física, 32;
-Português, 21;
-Matemática e Física, 7;
-Matemática e Português, 5;
-Física e Português, 6;
-As três matérias, 2;

Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?

42. (UFMG-MG) Os conjuntos A, B e A ∪ B têm, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de A ∩ B é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8

43. (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que:
- 310 pessoas compraram o produto A.
- 200 pessoas compraram o produto B.
- 110 pessoas compraram os produtos A e B.
- 510 pessoas não compraram nenhum dos dois produtos.

Indique o número de consumidores entrevistados, divididos por 10.

44. (UFV-MG) Uma academia de ginástica possui 150 alunos; 40% deles fazem musculação; 20%, musculação e natação; 22% natação e capoeira; 18% musculação e capoeira; e 12%, as três atividades. O número de pessoas que faz natação é igual ao número de pessoas que faz capoeira. Pergunta-se
a) Quantas fazem capoeira e não fazem musculação.
b) Quantas fazem natação e capoeira e não fazem musculação.

45. (FUVEST-SP) Durante uma viagem choveu cinco vezes. A chuva caía pela manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve seis manhãs e três tardes sem chuva. Quantos dias duraram a viagem?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Share on Google Plus
    Blogger Comment
    Facebook Comment

6 comentários :

  1. o exemplo de diferença entre conjunto, na parte de operações, está errado... se A={1, 2, 3} e B={1, 2, 5} então o correto é A - B={3} ao invés de {1}

    ResponderExcluir
  2. Pergunta 4
    1. Considere os conjuntos C = { -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e D { 0, 4, 7, 10 , 12} . Ao realizar a operação D – C, é correto afirmar que:

    a. D – C = { 10, 12}

    b. D – C = { -1, 1, 2, 3, 6}

    c. D – C = { 0, 10, 12}

    d. D – C = { 0, -1, 1, 3}

    e. D – C = { }


    ResponderExcluir
  3. Muito bom, mas seria melhor se trouxesse as resoluções.

    ResponderExcluir