ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA. - Atividades de Matemática

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ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA.

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GEOMETRIA ANALÍTICA ATIVIDADES DE MATEMÁTICA

Exercícios resolvidos de geometria analítica ensino médio
Resolução de questões de geometria analítica
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA



ATIVIDADES MATEMATICA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA
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Exercícios de Geometria Analítica

1. GEOMETRIA ANAL´ ITICA −→ − →Lista 3 - 15. Sejam A, B e C pontos n˜o-colineares, u = AB, v = AC. Prove que, se a e u as˜o de mesmo sentido e o mesmo ocorre com b e v, e se |a| = |b|, ent˜o a + b ´ paralelo a bis- a a e ` ˆ Em particular, o vetor soma dos versores de u e v ´ paralelo ` bissetriz de B AC.setriz de B AC. e a ˆ  a e u tem mesmo sentido    b e v tem mesmo sentido =⇒ a + b ˆ bissetriz de B AC   |a| = |b|  −→a e u tem mesmo sentido, ent˜o a = λu = λAB a −→b e v tem mesmo sentido, ent˜o b = αv = αAC aOs vetores a e b s˜o linearmente independentes, portanto a |a + b|2 = |a|2 + |b|2Mas, |a| = |b|, ent˜o: a √ √ |a + b|2 = |a|2 + |a|2 = 2|a|2 ⇒ |a + b| = 2|a| = 2λ|u|ou √ √ |a + b|2 = |b|2 + |b|2 = 2|b|2 ⇒ |a + b| = 2|b| = 2α|v|.Pela hip´tese a + b = λu + αv, ent˜o o a 1 (a + b) = |a + b| 1 = (λu + αv) = |a + b| 1 1 = λu + αv = |a + b| |a + b| 1 1 =√ λu + √ αv = 2λ|u| 2α|v| 1 1 =√ u+ √ v = 2|u| 2|v| 1 1 1 =√ u+ v 2 |u| |v| √ 1 1 1 1 2 1 1 ⇒ (a + b) = √ u+ v ⇒ (a + b) = u+ v |a + b| 2 |u| |v| |a + b| |u| |v| √ 2Definimos γ := |a+b| ∈ R+ .Ent˜o, γ(a + b) = a 1 u + 1 v ˆ . Portanto, o vetor a + b ´ paralelo ` bissetriz B AC. e a |u| |v| 1
2. Lista 7 – Ex. 6) Considere o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o vetor normal n = (a, b, c).Mostre que se P = (x0 , y0 , z0 ) ´ um ponto localizado do lado do plano para o qual a normal eaponta ent˜o ax0 + by0 + cz0 + d > 0. aSeja I o ponto que ´ proje¸ao ortogonal do ponto P sobre o plano π, onde, em coordenadas e c˜arbitr´rias, I = (x1 , y1 , z1 ) ∈ π. Ent˜o, a a −→ IP = P − I = (x0 , y0 , z0 ) − (x1 , y1 , z1 ) = (x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 ). −→O vetor IP ´ paralelo ao vetor normal n do plano π, portanto e −→ −→ −→ IP n ⇒ λIP = n, λ ∈ R∗ + u e IP devem ter o mesmo sentido.Substituindo, (a, b, c) = λ(x0 − x1 , y0 − y1 , z0 − z1 ).Igualando as coordenadas,   a = λx − λx x = a+x1   0 1  0  λ   b+y1 b = λy0 − λy1 =⇒ y0 = λ     c = λz0 − λz1  x0 = c+z1  λSubstituindo as coordenadas do ponto P no plano π a + x1 b + y1 c + z1 ax0 + by0 + cz0 + d = a +b +c +d λ λ λ a2 aλx1 b2 bλy1 c2 cλz1 = + + + + + +d λ λ λ λ λ λ a2 b 2 c 2 = + + + ax1 + by1 + cz1 + d λ λ λMas, por hip´tese, I = (x1 , y1 , z1 ) ∈ π ent˜o ax1 + by1 + cz1 + d = 0. o a 2 2 2Tamb´m por hip´tese sabemos que λ > 0, logo a > 0, bλ > 0 e cλ > 0. e o λTemos, ent˜o a a2 b 2 c 2 ax0 + by0 + cz0 + d = + + > 0. λ λ λLista 8 – Ex. 2) Dadas as retas r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, 7) + λ(2, 1, −3),obtenha uma equa¸˜o vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a u = (1, −5, −1). ca `Se u ´ paralelo ` reta que queremos determinar a equa¸ao, u ´ o vetor diretor da reta t. e a c˜ eA reta t intercepta as retas r e s, ent˜o R ∈ r e S ∈ s s˜o pontos de t. Em coordenadas a agen´ricas temos, e R = (λ, 1, 0) S = (−1 + 2t, 2 + t, −7 − 3t) 2
3. da´ ı −→ RS = S − R = (2t − λ − 1, t + 1, −7 − 3t).−→RS ´ vetor diretor da reta t, ent˜o ´ paralelo a u: e a e ` −→ −→ RS u ⇔ RS = ku, k ∈ R∗ −→Igualando as coordenadas de RS com as de ku,  2t − λ − 1 = k    t + 1 = −5k   −3t − 7 = −k Resolvendo o sistema encontramos k = 4 , t = − 9 e λ = − 23 . Substituindo o valor de λ no 1 4 4 23ponto R, encontramos um ponto pertencente ` t. R = − 4 , 1, 0 . Assim, a 23 t : X = R + αu = − , 1, 0 + α(1, −5, −1) 4Lista 8 – Ex. 14) Determine os valores de a e b de modo que os planos x + 2y + z = b e3x − 5y + 3z = 1 e 2x + 7y + az = 8 se interceptem:(a) um ponto;(b) uma reta;(c) trˆs retas distintas e paralelas. eDevemos fazer a discuss˜o do sistema formado pelas equa¸˜es dos trˆs planos em fun¸˜o dos a co e caparˆmetros a e b. Temos o sistema a  x + 2y + z = b    3x − 5y + 3z = 1   2x + 7y + az = 8 Utilizando o m´todo da elimina¸˜o de Gauss, escrevemos a matriz aumentada e fazemos e caopera¸oes nela objetivando deix´-la na forma escada. c˜ a       1 2 1 b 1 2 1 b 1 2 1 b  L2 ←3L1 −L2   L3 ←2L1 −L3  3 −5 3 1 − − − − 0 11 0 3b − 1 − − − − 0 11 − − −→ − − −→ 0 3b − 1   2 7 a 8 2 7 a 8 0 −3 2 − a 2b − 8   1 2 1 b L ←2L2 +11L3  −3 − − − → 0 11 −−−− 0 3b − 1  0 0 22 − 11a 2b − 8Reescrevendo o sistema teremos  x + 2y + z = b    11y = 3b − 1   (22 − 11a)z = 31b − 91  3
4. Analisando a ultima equa¸ao: ´ c˜(a) O sistema possui solu¸ao unica se 22 − 11a = 0, ou seja, se a = 2. Neste caso, a intersec¸ao c˜ ´ c˜ser´ um ponto. a 91(b) O sistema possui infinitas solu¸oes se 22 − 11a = 0 ⇒ a = 2 e 31b − 91 = 0 ⇒ b = c˜ 31 . Nestecaso, a intersec¸˜o ser´ uma reta. ca a 91(c) O sistema n˜o possui solu¸ao real se 22 − 11a = 0 ⇒ a = 2 e 31b − 91 = 0 ⇒ b = a c˜ 31 . Nestecaso, n˜o intersec¸ao entre os planos. a c˜ ırculo de centro C = (1, −2) tangente aP2-GA-Turma E – Ex. 4) Escreva a equa¸ao do c´ c˜ 3reta r : y = − 4 x + 5.Resolu¸˜o: caTemos as coordenadas do centro do c´ ırculo, logo precisamos apenas da medida do raio paraescrever sua equa¸ao. O valor do raio ´ a distˆncia do centro do c´ c˜ e a ırculo ao ponto de tangˆncia. eMas, esta distˆncia ´ tamb´m a menor distˆncia entre o centro e a reta tangente, portanto, esta a e e adistˆncia tamb´m ´ igual ao raio. a e e1) Primeira formaTemos a equa¸ao, c˜ |ax0 + by0 + c| d(P, r) = √ (1) a2 + b 2onde ax + by + c = 0 ´ a equa¸ao geral da reta e P = (x0 , y0 ). e c˜ 3 r : y = − x + 5 ⇒ 4y = −3x + 20 =⇒ r : 3x + 4y − 20 = 0 (2) 4Utilizando a equa¸ao (1) para a equa¸˜o da reta r reescrita na forma geral em (2) e para o c˜ caponto C = (1, −2), temos |3 · 1 + 4 · (−2) − 20| | − 25| 25 d(r, C) = √ ⇒ d(r, C) = √ = ⇒ d(r, C) = 5 32 + 42 25 52) Segunda formaPodemos calcular a distˆncia entre um ponto e uma reta utilizando a equa¸˜o (3), onde A ´ a ca eum ponto qualquer da reta e v ´ o vetor diretor de r. e −→ AP × v d(P, r) = (3) v 4
5. Escrevendo r na forma param´trica temos (com t ∈ R): e  x = t r: y = 5 − 3 t 4 4Para t = 0 encontramos o ponto A = (0, 5). E, de forma imediata, obtemos v = 1, − 3 . Para −→facilitar os c´lculos utilizaremos um vetor paralelo, v = (4, −3). O vetor AC ´ dado por a e −→ AC = C − A = (1, −2) − (0, 5) = (1, −7).Calcula-se o produto vetorial: i j ˆ ˆ ˆ k −→ ˆ ˆ ˆ AC × v = 4 −3 0 = −28k + 3k = −25k 1 −7 0 −→ ˆAssim, AC × v = | − 25| k = 25. A norma de v ´ dada por v = e 42 + (−3)2 = 5.Substituindo na equa¸˜o 3, temos ca 25 d(C, r) = = 5. 53) Equa¸ao do c´ c˜ ırculoForma reduzida: (x − cx )2 + (y − cy )2 = r2 , onde C = (cx , cy ) ´ o centro e r ´ o raio. e eAssim, a resposta do problema ´:e (x − 1)2 + (y + 2)2 = 52Ou, desenvolvendo os quadrados, temos, na forma geral x2 + y 2 − 2x + 4y − 20 = 0 5

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