📕 APOSTILA ÁLGEBRA LINEAR PDF 📚
Apostila De Algebra Linear 1. Álgebra Linear Prof.: Denilson Paulo 2. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA1 Data: ____/_____/____ MATRIZES Definição: Conjunto de números dispostos numa forma retangular (ou quadrada). Exemplo: 1 4 8 7 0 1 A B C D 3 E 40 2 34 2 0, 6 51 32 1 2, 7 1 0 3x2 3x1 A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas. A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna. A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas. A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna. A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas. De uma forma geral, uma matriz A mxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas dimensões e sua representação genérica é a seguinte: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n A ... ... ... ... a m1 a m2 . . . a mn mxn Usamos as palavras quot;tamanhoquot; ou quot;dimensãoquot; ou quot;ordemquot; para dizer quantas linhas e colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la: A a ij mxn ou a ij . Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a 23 encontra-se na segunda linha e terceira coluna. Exercício 1: Dadas as matrizes: 23 14 521 15 8 0 54 5 2 12 6 5 192 A B C 23 1 4 05 3 1 03 35 4 04 2 6 4 2 27 0 2 34 36 9 16 4 2 1 3 4 6 7 8 9 10 D 2 5 13 5 3 1 0 1 6 4 3 8 4 2 a) Determine a ordem de cada matriz acima. b) Determine os elementos c 45 , c 16 , c 37 , d 51 , d 45 , a 34 , a 12 , b 32 e b 23 . 3. Aula 1 Matrizes Especiais Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero. 00000 Exemplo:A 00000 00000 3x5 Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por a ij 0 para todos i e j. Obs: Usa-se a notação A 0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!! Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Neste caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz. 7 0 1 Exemplo: A . Neste exemplo a matriz A é de ordem 3. 34 2 0, 6 2, 7 1 0 3x3 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal principal nulos. 700 Exemplo:A 020 003 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: a ij onde d R. d se i j Obs: 1. Os elementos a 11 , a 22 , a 33 , . . . , a nn constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada. 7 41 Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A . 9 3 6 5 1 0 3x3 2. Os elementos da diagonal principal podem ser quaisquer números, inclusive zero. Porém, se a diagonal principal for constituída toda de zeros, matriz passará ser uma matriz nula. 3. Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto é, a 11 a 22 a 33 . . . a nn . O traço não está definido se a matriz A não for quadrada. n Notação: tr A a 11 a 22 a 33 . . . a nn a kk k1 Exemplo: Do exemplo acima: tr A 7 2 3 12. 1 2 3 Exercício 2: Encontre o traço da matriz B . 56 8 0 1 3 2 4. Aula 1 Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I. 100 Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I 3 010 001 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: a ij para i1,..., n 1 se i j e j 1, ...,n. Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5. I2 I4 I5 Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz A mxn é definida através da seguinte relação: a T a ji , para todo i e todo j. ij 15 8 0 Exemplo.: Seja a matriz A , então sua transposta será 23 1 4 2 6 4 2 1 2 2 5 3 6 AT . 8 1 4 0 4 2 Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine: a) Os elementos da diagonal principal da matriz D. b) O traço da matriz de D. c) B T d) C T 3 5. Aula 1 Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação: a T a ji , isto é, A T A. ij 7 14 Exemplo: A matriz A é simétrica, pois A A T . Verifique encontrando a 1 2 5 4 5 3 3x3 matriz transposta de A, A T . Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz A nxn é definida através da seguinte relação: a ji a T , isto é, A A T . ij 0 1 4 Exemplo: Seja a matriz A é uma matriz anti-simétrica. 1 0 5 4 5 0 3x3 Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser todos nulos. Por quê??? Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1). 8 Exemplo: Neste caso, B é um vetor coluna e E é um vetor linha. 2 51 1x2 1 3x1 Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior. 7 00 Exemplo: A 5 20 874 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: a ij onde d d se i j R. Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior. 4 6. Aula 1 74 3 Exemplo: B 02 6 00 4 3x3 0 se i j Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: b ij onde d R. d se i j Propriedades: 1. A transposta de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior. 2. A transposta de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior. Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas e quais são anti-simétricas? 3 4 A 4 1 4 30 001 0 36 34 B C D E 3 5 2 002 3 0 7 40 0 2 1 123 6 70 Operações com Matrizes Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se a ij b ij , elemento por elemento. 3x 3 4 Exemplo: Se A B e A eB , então x 4. 52 5 2 21 21 Exercício 6: Dadas as matrizes A eB . Qual o valor de x para que 3x 35 A B? Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais. x2 5x 7 8 6 z 8 A e B 2 2 y 1 29 1 5 7. Aula 1 x2 5x 7 É possível a matriz C se igual a A para algum valor de x e de y? Justique a y2 2 sua resposta. Soma e Subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma dimensão e é definida como c ij a ij b ij , onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij a ij b ij . 2 1 03 43 5 1 Exemplo: Considere as matrizes A eB . Calcule 1 0 24 2 2 0 1 5 276 3 2 4 5 ABeA B. 2 1 03 43 5 1 245 4 AB 1 0 24 2 2 0 1 1 22 3 5 276 3 2 4 5 8 0 3 11 2 1 03 43 5 1 6 2 52 B A 1 0 24 2 2 0 1 3 2 2 5 5 276 3 2 4 5 2 4 11 1 Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas. Propriedades: a) (A B) C A (B C) (associativa) b) A B B A (comutativa) c) A 0 0 A A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição) 2 3 46 Exercício 8: Dadas as matrizes A eB . Calcule A B e A B. 35 18 0 1 93 6 8. Aula 1 Multiplicação por uma constante Multiplicar uma matriz por uma constante (k), implica em multiplicar todos os elementos da matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C k A será c ij k a ij para todo i e j. 2 1 03 Exemplo: Seja a matriz A 1 . Calcule 2A, A e A. 1 0 24 2 5 276 2 1 03 4 2 0 6 2A 2 1 0 24 2 0 4 8 5 276 10 4 14 12 1 3 1 0 2 1 03 2 2 A 1 1 1 0 1 2 1 0 24 2 2 2 5 7 5 276 1 3 2 2 2 1 03 2 1 0 3 A 1 0 24 1 0 2 4 5 276 5 2 7 6 2 3 46 Exercício 9: Dadas as matrizes A eB . Calcule 2A 3B e 1 A 2B. 35 18 3 0 1 93 Multiplicação de matrizes Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz, ou seja, a multiplicação A mxn . B nxp terá como resultado uma matriz C mxp . A 7 9. Aula 1 multiplicação de matrizes é definida como sendo: A mxn B nxp C mxp n Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij a ik b kj , para i 1, . . . , m e k1 j 1, . . . , p. 16 1358 Exemplo: Dadas as matrizes A eB . 50 9765 87 Qual é a dimensão da matriz C, onde C A B? Qual é a dimensão da matriz D, onde D B A? Então, só será possível encontrar a matriz C, que será: 16 .......... .......... .......... .......... 1358 C AB 50 .......... .......... .......... .......... 9765 87 .......... .......... .......... .......... Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A B B A, em geral. Multiplicação de matriz por vetor Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é um caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz. Multiplicação de vetores É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor linha por um vetor coluna, o resultado será um número. Propriedades: Sejam e dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam realizar as operações. 1) A B C A B C (associativa) 2) A B C A B A C (distributiva à esquerda) 3) A B C A C B C (distributiva à direita) 4) I A A I A (Ié matriz identidade e elemento neutro) 5) A A 6) A B A B 7) A B A B 8) A A A 8 10. Aula 1 9) A B 0 para A 0 e B 0 (0 é a matriz nula) 10) A A 0 11) A 0 0 A 0 Das matrizes triangulares: 12) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior. 13) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior. Da matriz transposta: 14) A T T A 15) A B T A T B T 16) k A T k A T , para k uma constante real. 17) A B T B T A T 18) Se AB AC com A 0, não implica que B C, isto é, não vale a lei do cancelamento. Das matrizes simétricas: Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer, então: 19) A T é simétrica; 20) A B é simétrica; 21) k A é simétrica. 22) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 23) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, A T A e A A T são simétricas. Do traço: 24) tr A B tr A tr B 25) tr k A k tr A Potenciação Se A é uma matriz quadrada, definimos: A0 I A1 A A2 A A A A A A A, com n 0 n n vezes Propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então: a) A r A s A rs b) A r s A rs 1 12 3 201 Exercício 10: Sejam as matrizes A ,B ,C e 2 21 1 3 01 4 9 11. Aula 1 D 2 1 Encontre: a) A B b) A C c) B C d) C D e) D A f) D B g) A h) D i) 2A 3B 10 12. Aula 1 j)C T A T 21 Exercício 11: Seja A . Calcule A 2 . 3 2 3 2 Exercício 12: Se A , ache B, de modo que B 2 A. 4 3 2 1 0 2 Exercício 13: Sejam as matrizes A eB . 1 0 2 0 Encontre: a) A T B T b) B T A T c) A B 2 d) A 2 11 13. Aula 1 e) B 2 Exercícios de Revisão 1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens: A 4x5 B 4x5 C 5x2 D 4x2 E 5x4 Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê a ordem da matriz resultante. a) B A b) A C D c) A E B d) A B B e) E A B f) E A C g) E T A h) A T E D Resp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2 2. Considere as matrizes: 3 0 1 52 6 13 4 1 142 A ,B ,C ,D ,E 12 101 112 0 2 315 1 1 3 24 4 13 Calcule (quando possível) a) D E c) 5 A b) D E d) 7C e) 2 B C f) 4 E 2 D g) 3 D 2 E h) A A j) tr D 3 E k) 4 tr 7 B i) tr D l) tr A m) 2A C 1T 1 T o) D T E T ED T p) B T CC T ATA n) 2 C A 4 2 q) B Resp: . não é possível fazer: e, L 7 65 5 4 1 15 0 7 28 14 Resp: a) b) c) d) , 213 0 1 1 5 10 21 7 35 7 37 1 1 1 5 5 48 104 84 39 21 24 f) g) h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168 24 4 20 9 6 15 24 88 52 33 12 30 5 3 4 2 724 40 72 16 6 7 m) n) o) matriz nula p) q) 0 4 357 26 42 0 4 3 9 4 4 Exercícios Aplicados 12 14. Aula 1 1. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterrâneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? 2. Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que a ij 1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j, a ij 0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma. 01111 10110 A 01010 00101 00010 Qual seria o significado da matriz A 2 A A? 5 Seja A 2 c ij . Calculemos o elemento c 42 a 4k a k2 0 0 1 0 0 1. k1 Note que a única parcela não nula veio de a 43 a 32 1 1. Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2. 2 01111 11231 10110 02222 2 a) Calcule A . Resp: 01010 10211 00101 01020 00010 00101 b) Qual o significado de c 13 2? c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: quot;A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra como uma única retransmissãoquot;. d) Qual o significado das matrizes A A 2 , A 3 e A A 2 A 3 ? e) Se A fosse simétrica, o que significaria? 3. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo a ij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo. 13 15. Aula 1 Para A. . . B. . . C. . A 0, 7 0, 2 0, 1 De B 0, 3 0, 5 0, 2 C 0, 4 0, 4 0, 2 Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro novo de mesma marca. A 2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas compras. Calcule A 2 e interprete. 2 0. 7 0. 2 0. 1 0. 59 0. 28 0. 13 Resp: 0. 3 0. 5 0. 2 0. 44 0. 39 0. 17 0. 4 0. 4 0. 2 0. 48 0. 36 0. 16 Gabarito 10. 2 1 124 15 6 a) b) c) d) e) f) 4 2 037 5 10 4 1 8 4 701 1 2 3 8 4 3 g) h) i) j) 21 15 4 2 1 1 52 5 70 11. : 07 2 4 20 1 6 5 2 4 0 13: a) b) c) d) e) 0 2 42 2 3 2 1 0 4 14 16. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 2 Data: ____/_____/____ DETERMINANTES O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n A ... ... ... ... a n1 a n2 . . . a nn nxn é denotado por det A ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra : “Seja o produto escrito na seguinte forma: a 1i a 2j a 3k . . . (n termos). Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1, 2, 3, . . . . , n, então o produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”. Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência i, j, k. . . n. Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: a 11 a 12 A a 21 a 22 2x2 será definido pelo produto: a 11 a 12 det A a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3: a 11 a 12 a 13 A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 3x3 será definido pelo produto: a 11 a 12 a 13 det A a 11 a 22 a 33 a 21 a 32 a 13 a 31 a 23 a 12 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 21 a 12 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Quando |A| 0, a matriz A é dita singular. Exercício 1: Calcule os determinates: 15 17. Aula 2 3 4 51 1. 2. 13 03 3 12 3. 4 5 6 0 1 0 10 1 4. 25 0 12 2 Propriedades As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes: 1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos; 2 67 4 3 0 Exemplo: 0 0 0 5 9 0 5 4 8 1 10 0 2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i, isto é, det A det A T . 1 32 1 32 Exemplo: Seja a matriz A com det A 103 103 4 32 4 32 Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é, calculando a matriz transposta de A: 1 14 1 14 AT . Então, o determinante de A T 3 0 3 3 0 3 2 3 2 2 3 2 3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se uma coluna é permutada com outra coluna; 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . Trocando a linha 2 com a linha 3, temos 103 4 32 16 18. Aula 2 1 32 B . Então, 4 32 103 1 32 o determinante de B 4 32 103 4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante fica também multiplicado por este número; 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . 103 4 32 13 2 Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B e 20 6 43 2 13 2 2 det A 20 6 43 2 1 36 Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C e 109 4 36 1 36 3 det A 109 4 36 Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos: 2 64 D , então o det D 2 2 2 det A 206 8 64 De uma forma geral, det k A k n det A , onde k é uma constante real. 5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou proporcionais entre si; 17 19. Aula 2 232 1 2 3 Exemplo: 303 3 2 7 232 2 4 6 Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais 6. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número. 1 32 Exemplo: Seja a matriz A . Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o 103 4 32 132 132 três vezes a linha 1, isto é, L 2 L 2 3 L 1 , temos: . Então, 299 299 432 432 7.Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então det A é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, det A a 11 a 22 . . . a nn . 2 3 5 3 0 0 Exemplo: 0 27 5 2 0 0 0 1 8 94 8. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detI n 1. 10000 01000 Exemplo: 00100 00010 00001 9.det A B det A det B , em geral. 3 2 01 Exemplo: Sejam as matrizes A eB 4 5 35 Calcule 3 2 01 det A det B 4 5 35 18 20. Aula 2 3 2 01 AB det A B 4 5 35 10. det A B det A det B 3 2 01 Exemplo: Sejam as matrizes A eB , as matrizes do exemplo 4 5 35 anterior. Calcule 3 2 01 AB 4 5 35 det A B Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a propriedade utilizada. 11 1 1. 30 2 22 2 3 1 0 2. 0 25 0 0 4 0 0 1 3. 0 5 2 3 1 4 2 3 4 4. 1 3 2 1 5 2 123 5. 041 164 4 1 3 6. 20 2 5 4 1 19 21. Aula 2 1000 0010 7. 0100 0001 0 200 3000 8. 0 004 0 010 1010 0101 9. 1100 0011 Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta matriz. Notação: |M ij |. 4 12 Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A . O menor do elemento a 21 é o 3 0 5 6 1 7 determinante da submatriz M 21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é, 12 |M 21 | 9. 1 7 Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz. Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o quot;menor com sinalquot; de a ij e é dado pela seguinte relação: Cof a ij 1 ij |M ij | Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cof a 21 1 21 |M 21 | 1 9 9. Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos elementos da matriz original, ou seja: a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n Se A , então a matriz dos cofatores é dada por: ... ... ... ... a n1 a n2 . . . a nn nxn 20 22. Aula 2 cof a 11 cof a 12 . . . cof a 1n cof a 21 cof a 22 . . . cof a 2n Cof A ... ... ... ... cof a n1 cof a n2 . . . cof a nn nxn Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, Adj A Cof A T . 4 12 Exemplo: A matriz dos cofatores de A . 3 0 5 6 1 7 4 12 Exemplo: E a matriz adjunta de A é: 3 0 5 6 1 7 Expansão de Determinantes por Co-fatores O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de cofatores, mediante uma das seguintes expressões: n |A| a ik cof a ik , desenvolvendo através da linha i, ou k1 n |A| a kj cof a kj , desenvolvendo através da coluna j. k1 21 23. Aula 2 2 3 5 Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A . 6 7 5 1 10 11 O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por: 7 5 3 5 35 det A 2 6 1 11 21 31 1 1 1 10 11 10 11 75 O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por: 3 5 2 5 2 3 det A 6 7 5 21 22 23 1 1 1 10 11 1 11 1 10 Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o mesmo: 2 3 5 136 det 6 7 5 1 10 11 DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros. Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente. 5 22 112 1. 3 00 1 1 1 2. 2 0 1 3 2 1 4 1 3 3. 2 24 1 10 cos sen tg cos 4. 0 sen cos 0 sen 1 103 2 5 26 5. 0 1 00 1 4 21 22 24. Aula 2 2 0 3 1 1 0 2 2 6. 0 11 4 2 0 1 3 Resp: 2) 7 3) -12 5) 4 6) 8 Curiosidade: O produto de uma matriz pela sua matriz adjunta dará uma matriz diagonal, cuja diagonal é o valor do determinante da matriz original. ab d b Exemplo: A e Adj A . Então, cd c a ab d b ad bc 0 . cd c a 0 ad bc 3 5 Exercício 4: Multiplique a matriz A pela sua matriz adjunta e calcule o 14 determinante de A. Compare os resultados. Exercícios de revisão 1. Calcule os determinantes: ab0 0a0 ab 2 a 2 b 0 a) b) b c d 0ab a0b 0e0 000a 1 0 0 00bc abdg 1 0 cos c) d) sen 0def cos 0 sen ghij 23 25. Aula 2 x 5 7 0. Resp; x 0 ou x 1 ou x ½. 0 x1 2. Resolva a equação 6 0 0 2x 1 abc 4. 3. Encontre os determinantes, assumindo que def ghi 2a 2b 2c 3a b 2c def a) b) 3d c) d e f e 2f abc g h i 3g h 2i ghi ag bh ci 2c b a d) e) d e f 2f e d g h i 2i h g Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8 Exercícios de aplicação 1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos: a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4) b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6) c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2) 2. Calcule a área do triângulo de vértices: a) (0,0), (3,4), (-2,3) b) (2,-1), (3,3), (-2,5) c) (-3,-1), (1,4), (3,-2) 3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices: a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0) b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1) 24 26. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 3 Data: ____/_____/____ MATRIZ INVERSA Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se det A 0, então existe uma matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita : A B B A I (I é a matriz identidade) A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B A 1 . Logo, temos: AA 1 A 1A I Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa. Se det A 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular. Cálculo da Matriz Inversa A matriz inversa é calculada pela seguinte relação: A 1 1 AdjA. det A 2 3 5 Exemplo: Calculando a matriz inversa de A 6 7 5 1 10 11 2 3 5 136 Calculando-se o determinante da matriz A: 6 7 5 1 10 11 ..... ..... ..... A matriz de cofatores é calculada como sendo: Cof A . ..... ..... ..... ..... ..... ..... A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta: ..... ..... ..... Adj A Cof A T ..... ..... ..... ..... ..... ..... Com isso temos: 25 27. Aula 3 27 1 5 ..... ..... ..... 136 8 34 AdjA 1 1 61 1 5 1 . A ..... ..... ..... 136 det A 136 8 34 53 1 1 ..... ..... ..... 136 8 34 Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal são todos não-nulos. Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível: 3 1 a) A 1 1 63 b) 21 26 28. Aula 3 Propriedades 1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior. 2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior. 3) Se A B é inversível, então A B 1 B 1 A 1 . 4) A é inversível, então A 1 1 A. n 5) A n A 1 A 1 A 1 A 1 . n fatores A 1 n para n 0, 1, 2, . . . n1 5) An é inversível e A 6) Para qualquer k constante real, a matriz k. A é inversível e. k A 1 1 A 1 . k 7) Se A é uma matriz inversível, então A T também é inversível e A T 1 A 1 T . 8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A 1 é simétrica. 9) Se A é uma matriz inversível, então A A T e A T A são também inversível. 47 Exercício 2: Seja A . Calcule: 12 a) A 3 3 b) A 2 A I, onde I é a matriz identidade c) A 2 27 29. Aula 3 Exercício de revisão 1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível: 3 3 a) A 5 4 Resp:não é possível 5 2 6 3 1 1 2 2 2 2 5 5 2 b) Resp: 2 1 2 2 22 2 5 10 cos cos sen sen c) Resp: cos cos sen sen 1 0 0 é inversível para todos os valores de . Em 0 cos 2. Mostre que a matriz sen cos 0 sen 1 0 0 0 cos seguida, encontre a sua inversa. Resp: . sen sen cos 0 21 3. Dada A 3AI . Calcule:a) A 2 2 c) A 2 b) A 11 53 2 3 98 Resp: a) b) c) 32 3 5 81 2 3 20 4. Dadas as matrizes A eB . Calcule: 1 1 41 a) A B b) A B c) A A d) 2 B 1 1 T 1 I 1 1 3 0 16 6 4 2 2 Resp: a) b) c) 0 d) 1 3 1 1 3 8 2 Exercício de aplicação 28 30. Aula 3 Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: ABCDEFGHI J L M N O P Q R S T U V W X Y Z 123 4 567 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Suponhamos que a nossa mensagem seja quot;PUXA VIDAquot;. Podemos formar uma matriz 3x3 assim: PUX 15 20 23 M , que usando a correspondência numérica fica . A V 1 0 21 IDA 9 4 1 1 01 Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C . 131 0 11 Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo 15 20 23 1 01 5 83 58 MC 1 0 21 131 1 21 22 9 4 1 0 11 5 13 14 Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5 13 14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa MC . C 1 M) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para o código. a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem. b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a 11 1 matriz chave por C . Você transmite a mensagem quot;CRETINOquot; a ele (codificada, 11 0 00 2 naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem? c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e descodifique à vontade! 29 31. Álgebra Linear - Prof a Ana Paula AULA 4 Data: ____/_____/____ Equações matriciais 12 10 Exercício 1: Ache X, dadas A eB . 34 1 1 2A 3B 0 1. X 2. 2X A B 3. 2 A 2B 3X BX 3 X 4. 2 A A 30 32. Aula 4 Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações indicadas estão definidas) 1. ABX C 2. CAX T C 3. AX 2 C AXBC 4. ADX ABC 31 33. Aula 4 5. DX T DC 6. ABCX 2 D 2 ABCXD 7. D 1 XD AC 8. CX 2B 3B Exercício de revisão Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as operações indicadas estão definidas) 1. A 1 BX 1 A 1 B 3 2 2. XA 2 A 1 3. AXB BA 2 4. A 1 X 1 A B 2 A 1 5. ABXA 1 B 1 I A 32 34. AULA 5 Data: ____/_____/____ Sistemas de Equações Lineares E quação Linear Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma: a1 x a2 y b onde a 1 , a 2 e b são constantes reais e a 1 e a 2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas n variáveis x 1 , x 2 , ..., x m como uma equação que pode ser expressa na forma: a1 x1 a2 x2 am xm b onde a 1 , a 2 , ..., a m e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas. Exemplo: São equações lineares: x 3y 7 y 1 x 3z 1 2 x 1 2x 2 3x 3 2 x 4 3 3 Não são equações lineares: x3 y 5 3x 2y z xz 4 y senx Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares: 2 x4 1 1. x 1 5x 2 2. x 1 3x 2 x 2 x 3 2 3. x 1 7x 2 3x 3 4. x 1 2 2x 2 3x 3 5 3 5. x 15 2x 2 x 3 4 6. x 1 2 x2 3 x3 0 4 Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares? 1. x 1 2x 2 3x 3 senk x 9 2 2. kx 1 k2 3. 2 x 1 7x 2 x 3 0 k 32 35. Sistemas de equações lineares Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m b n onde a ij são coeficientes conhecidos, b i são constantes dadas e x j são as incógnitas do sistema. Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação (somatório) da seguinte maneira: n ∑a x j = bi ij j =1 Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer: n ∑a x j = bi para i = 1,2, h , m ij j =1 Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo da seguinte maneira: a11 a12 a1m b1 a a a 21 x + 22 x ++ 2 m x = b2 1 2 m a n1 an 2 a nm bn Definindo-se os vetores: a11 a12 a1m b1 a a a 21 A = 22 A = 2 m b = b2 A1 = l 2 l m l l an1 an 2 anm bn podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma: A 1 x 1 A 2 x 2 . . . . A m x m b. Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma: 33 36. a1m a11 x1 a12 a x a2m a22 A= x= 21 2 a nm an1 xm an2 podemos representar o sistema matricialmente como: Ax B ou seja, a11 a12 h a1m x1 b1 a 21 a 22 h a 2 m x 2 = b2 l l l l l l a n1 a n 2 h a nm , , x b IMMMKMMML m n x B A Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz das variáveis e B é denominado matriz dos termos independentes. 3 x1 4 x2 2 x3 0 4 x1 2 x2 1 Exemplo: Seja o sistema de equações lineares . Este sistema tem 2 x2 x3 3 2 x1 3 x3 2 4 equações e 3 incógnitas. 3 42 0 x1 4 2 0 1 Na forma matricial, tem-se: x2 0 21 3 x3 2 0 3 2 3x1 4x3 X B A Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última coluna. a1m b1 a11 a12 a a 2 m b2 a 22 [A b] = 21 a nm bn a n1 an 2 34 37. Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica: 3 42 0 4 2 0 1 0 21 3 2 0 3 2 4x4 Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares: 2y 1 3x 4x 5y 3 a) 7x 3y 2 2x 4z 1 y 4z 7 b) 3x 6x y z0 x 1 2x 2 x4 x5 1 3x 2 x 3 x5 2 c) x 3 7x 4 1 x1 1 x2 2 d) x3 3 Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada: 2 0 0 a) 3 40 0 1 1 3 0 2 5 b) 7 1 4 3 0 2 1 7 721 35 c) 124 0 1 1000 7 0100 2 d) 0010 3 0001 4 35 38. Tipo de sistemas Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para x 1 , x 2 , . . . , x n que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema. Quanto a existência de soluções: Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui solução Sistema Possível (SP): Se existir pelo menos uma solução do sistema, dizemos que ele é possível. Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou então uma infinidade de soluções. Quanto ao número de soluções: Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma única solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI). Pode ser classificado de acordo com a matriz B: Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, b j 0 para qualquer j . a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m 0 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m 0 Se pelo ao menos um b j 0, então o sistema é dito não-homogêneo. O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x 1 0, x 2 0, . . . , x n 0 sempre como uma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluções estas soluções são chamadas não-triviais. Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas possibilidades para suas soluções: - O sistema tem somente a solução trivial; - O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial. O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que equações. 36 39. Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B: 2y 1 3x 4x 5y 3 a) 7x 3y 2 2x 4z 0 y 4z 0 b) 3x 6x y z0 x 1 2x 2 x4 x5 0 3x 2 x 3 x5 0 c) x 3 7x 4 1 x1 x2 0 x1 x2 0 d) x1 x2 x3 0 Resolver um SEL Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores das incógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nem todo sistema tem solução. A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes disto, veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução. Operações Elementares O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado por um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver. Este sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada os seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas: - Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (L i k L i , onde ké um constante real 0); Exemplo: 2 2 4 10 2 2 4 10 0 0 − 2 − 8 ⇒ L ↔ L ⇒ 1 3 4 17 2 3 1 3 4 17 0 0 − 2 − 8 - Trocar duas linhas entre si.(L i Ë L j ); Exemplo: 37 40. Aula 5 Exemplo: L2 2 2 4 10 2 2 4 10 L 2 = −4 0 −4 −4 −24 ⇒ ⇒ 0 1 1 6 L3 L 3 = 0 0 −2 −8 0 0 1 4 −2 - Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (L j L j k L i , onde ké um constante real 0); Exemplo: 2 2 4 10 2 2 4 10 1 1 3 9 ⇒ L = L − 2 L ⇒ 0 0 − 2 − 8 2 1 2 1 3 4 17 1 3 4 17 Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas. Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ou simplesmente, forma escalonada reduzida, se: 1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1, chamado de pivô. 2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. 3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior. 4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos. Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente. Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô. Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonada reduzida as matrizes B, C, D. 01 201 120 4 100 00 00 0 13 A B C D 010 7 010 00 00 0 00 001 1 001 00 0 00 Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada: 01 201 100 4 100 10 00 0 13 A B C D 000 7 000 02 00 0 20 001 1 001 00 0 00 38 41. Aula 5 Exercício 6: Determine se a matriz está na forma escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. 12030 1005 00 100 00110 A B C D 0013 00 000 00001 0104 00 001 00000 13020 10220 1031 1 755 E F G 00001 0124 0 1 32 00000 Métodos para encontrar a solução de sistemas de equações lineares Método de Eliminação Seja o sistema linear Ax B, onde A tem todas as submatrizes principais não singulares O método de Eliminação de consiste em transformar a matriz aumentada do sistema dado num na forma escalonada por linhas pela aplicação repetidamente as operações elementares. Claro que tal operação não altera a solução do sistema, isto é, obtém-se com ela outro sistema equivalente ao original. Descrição do algoritmo Consideremos o sistema: a 11 x 1 a 12 x 2 a 1m x m b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2m x m b 2 a n1 x 1 a n2 x 2 a nm x m b n cuja matriz aumentada chamaremos A 1 . Montamos a tabela: a11) b1(1) a12) a1(n) (1 (1 1 (1) ( a 22) a21n) (1 ( b21) a21 (1) ( a n12) ann) an1 bn1) ( (1 onde a ij1 a ij e b ij1 b ij p/ i, , j 1, 2. . . , n. 1 Por hipótese temos que a 11 0, pois det A 0. Passo 1: Localize a coluna mais à esquerda que não seja constituída inteiramente de zeros. 39 42. Aula 5 Passo 2: Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessário, para obter um elemento não-nulo ao topo da coluna encontrada no Passo1. Passo 3: Se o elemento, que agora está no topo da coluna encontrada no Passo 2, é a, multiplique a primeira linha inteira por 1/a para introduzir um pivô. Passo 4: Some múltiplos convenientes da primeira linha às linhas inferiores para obter zeros em todos os elementos abaixo do pivô. Para isso: 1 a 21 Subtraímos da 2 a equação a 1 a equação multiplicada por . 1 a 11 1 a 31 Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por . 1 a 11 1 a n1 Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por . 1 a 11 Passamos então da tabela inicial a tabela: a11) b1(1) a12) a1(1) (1 (1 n ( a22 a 2 n ( 2) ( 2) b2 2) 0 ( a nn ) 0 bn 2) a n2 ) ( (2 2 onde a i(1 ) 1 aij2) = aij1) − a1(1j) ( ( a11) (1 a i(1 ) 1 =b −b ( 2) (1) (1) b i i 1 a11) (1 p/ i, j 1, 2, . . . n. 2 Por hipótese temos que a 22 0, pois det A 0. Passo 5: Agora esconda a primeira linha da matriz e recomece aplicando o Passo 1 a submatriz resultante. Continue desta maneira até que toda a matriz esteja na forma escalonada. Para isso: 2 a 32 Subtraímos da 3a equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 2 a 42 Subtraímos da 4a equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 2 a n2 Subtraímos da na equação a 1a equação multiplicada por . 2 a 22 40
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