Exercícios de Matemática
EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PARA ENSINO MÉDIO
ATIVIDADES MATEMATICA
📕 EQUAÇÃO DO PLANO E EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO PDF 📚
11 geometria iii
1. ESAS – Geometria III Página 1/5 Escola Secundária de Alberto Sampaio 11º Ano Ficha Formativa de Matemática A – Geometria III Equação do plano e equação da reta no espaço Plano definido por um ponto e um vetor normal : Seja 1 1 1A x , y ,z um ponto do plano e n a , b ,c um vetor normal do plano: A equação do plano é dada por : 1 1 1AP. n 0 a x x b y y c z z 0 conhecida por equação cartesiana do plano . Desenvolvendo a equação 1 1 1a x x b y y c z z 0 obtém-se uma equação do tipo ax by cz d 0 conhecida por equação geral do plano . Exemplo: Determina uma equação do plano que contém o ponto A 1 ,2 ,1 e é perpendicular ao vetor n 3 , 1 ,2 Resolução: AP. n 0 3 x 1 1 y 2 2 z 1 0 3x 3 y 2 2z 2 0 3x y 2z 3 2 2 0 3x y 2z 1 0 Plano definido por 3 pontos não colineares : Modo de proceder: Determinam-se dois vetores quaisquer, por exemplo AB e AC . Determina-se um vetor normal ao plano: n. AB 0 ... n a , b ,c n. AC 0 Escreve-se a equação do plano: 1 1 1a x x b y y c z z 0 Exemplo: Determina uma equação do plano ABC sendo A 2 , 1 ,1 , B 0 ,1 ,1 e C 2 ,3 , 0 . Resolução: Determinar dois vetores quaisquer: AB 2 ,2 , 0 e AC 0 , 4 , 1 . o vetor n a, b ,c é perpendicular ao plano sse n AB n BC n. AB 0 n.BC 0
2. ESAS – Geometria III Página 2/5 a , b ,c . 2 ,2 , 0 0n. AB 0 2a 2b 0 a b 4b c 0 c 4ba , b ,c . 0 , 4 , 1 0 n. BC 0 Os vetores da forma n b , b , 4b ,b 0 são perpendiculares ao plano ABC. Se b 1 , por exemplo, vem n 1 , 1 , 4 . Assim, uma equação do plano é: 1 x 2 1 y 1 4 z 1 0 x 2 y 1 4z 4 0 x y 4z 7 0 Casos particulares: Planos paralelos aos planos coordenados: Seja 1 1 1A x , y ,z um ponto qualquer do plano Plano paralelo ao plano xOy: a equação do plano é do tipo: 1z z Plano paralelo ao plano xOz: a equação do plano é do tipo: 1y y Plano paralelo ao plano yOz: a equação do plano é do tipo: 1x x Exemplo: Escreve uma equação do plano que contém o ponto A 1 ,2 ,3 e: a) é paralelo ao plano xOy ; b) é paralelo ao plano xOz ; c) é paralelo ao plano yOz . Resolução: a) z 3 b) y 2 c) x 1 Exercícios Propostos: 1. Escreve uma equação do plano: a) que contém o ponto A 0 ,1 , 0 e é perpendicular ao vetor u 2 , 1 , 3 . b) ABC, sendo A 0 , 0,1 , B 1,1,0 e C 1,0,1 . c) que contém o ponto B 1 , 0,2 e é paralelo aos vetores u 1 ,1, 0 e v 1 , 0,2 . 2. Determina uma equação do plano que contém o ponto A 2 ,3 ,1 e a) é paralelo ao plano xOy ; b) é paralelo ao plano xOz ; c) é paralelo ao plano yOz .
3. ESAS – Geometria III Página 3/5 3. Considera o plano de equação 2x y 3z 0 . a) Indica as coordenadas de um vetor normal ao plano. b) Indica um ponto do plano. c) Verifica se o ponto A 0 ,1 , 4 pertence ao plano. 4. Considera o prisma quadrangular regular representado na figura, cuja área da base é 25 2 cm e o volume é 175 3 cm . a) Determina as coordenadas dos pontos A, C e H. b) Escreve a equação do plano que contém a face EFGH. c) Escreve uma condição que defina a reta BG. d) Determina uma equação do plano mediador do segmento AH. e) Determina uma equação da superfície esférica que tem por centro o ponto D e que passa por H. f) Determina uma equação do plano ACE. g) Determina uma equação do plano que contém o ponto G e: g1) é paralelo ao plano xOy ; g2) é paralelo ao plano xOz ; g3) é paralelo ao plano yOz. Equações da Reta no Espaço Equação vetorial da reta: Dados o ponto 1 1 1A x , y ,z e o vetor, u a , b ,c a equação vetorial da reta é: 1 1 1x , y ,z x , y ,z a,b ,c , Exemplo: A equação da reta que passa no ponto A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor u 1 , 2 ,3 é: x , y ,z 1, 0 ,2 1, 2 ,3 , Equações cartesianas da reta: Dados o ponto 1 1 1A x , y ,z e o vetor u a , b ,c , as equações cartesianas da reta são: 1 1 1x x y y z z a b c
4. ESAS – Geometria III Página 4/5 Exemplo: As equações cartesianas da reta que passa por A 1 , 0 ,2 e tem a direcção do vetor u 1 , 2 ,3 são: x ( 1) y 0 z 2 x 1 y z 2 1 2 3 1 2 3 Casos Particulares : 1º CASO: uma das coordenadas do vetor é nula. Por exemplo, u 0 , b ,c Neste caso as equações são: 1 1 1 y y z z x x b c ou 1 1 1 x x y y z z b c 2º CASO: duas das coordenadas do vetor são nulas. Por exemplo, u 0 , 0 ,c Neste caso as equações cartesianas da reta são: 1 1x x y y ou 1 1 x x y y Exemplos: As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor u 0 , 2 ,3 são: y 1 z 2 x 1 2 3 ou x 1 y 1 z 2 2 3 As equações cartesianas da reta que passa pelo ponto A 1 , 1 ,2 e tem a direcção do vetor u 0 , 0 ,3 são: x 1 y 1 ou x 1 y 1 Outros exemplos: Ponto 1 1 1A x , y ,z , vetor u a , 0 ,c Equações cartesianas da reta: 1 1 1 x x z z y y a c ou 1 1 1 y y x x z z a c Exemplos: Dados o ponto A 1 , 1 ,2 e o vetor u 2 , 0 ,3 , as equações são: x 1 z 2 y 1 2 3 ou y 1 x 1 z 2 2 3
5. ESAS – Geometria III Página 5/5 Dados o ponto A 1 , 1 ,2 e o vetor u 0 , 2 , 0 , as equações são: x 1 z 2 ou x 1 z 2 Dados o ponto A 1, 1 ,2 e o vetor u 1 , 0 , 0 , as equações são: y 1 z 2 ou y 1 z 2 Exercícios Propostos: 5. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto A 1 ,2 , 1 e a reta r definida por: x , y ,z 2 , 0 , 4 3, 1 ,2 , a) Escreve as equações cartesianas da reta r. b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy. c) Determina uma equação da reta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz. 6. Considera num referencial o.n. Oxyz, o ponto A 1 ,1 ,3 e a reta r definida por: x 1 z 1 y 2 2 3 a) Escreve uma equação vetorial da reta r. b) Determina as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano xOy. c) Determina as equações cartesianas da reta paralela ao eixo Oy e que passa pelo ponto A. 7. Escreve as equações vetoriais e as equações cartesianas da reta que passa por A 1 ,3 ,2 e tem a direcção dos vetores : a) a 1 , 2 ,3 b) b 1 , 0 ,3 c) c 1 , 0 , 0 7. Considere as retas r e s definidas por: x 1 y 4 2 z r: 2 5 3 z 3 x s: 2 y 4 a) Indique um vetor director e dois pontos de cada uma das retas. b) Escreve a equação vetorial da reta s. c) Determina a intersecção da reta r com o plano yOz.
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